numération non positionnelle

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Je prendrai la numération romaine, délaissée au fil du temps parce que mal comprise. La numération à zéro (dite de position) permet de calculer verticalement. Bien que nécessitant l'apprentissage de tables d'addition et de multiplication, celle-ci a néanmoins détrôné toutes les formes de numération antérieures. Ce fait s'explique - à mon sens - par l'ignorance (ou l'oubli) de la technique de calcul horizontal caractérisant ces formes de numération.

En préliminaire, je donne ici une table de correspondances complétée du système romain, permettant de calculer jusqu'au milliard (je pars du principe que les bases de ce système sont acquises).

I : 1

II : 2

III : 3

V : 5

X : 10

L : 50

C : 100

D : 500

M : 1000

N : 5000

P : 10000

Q : 50000

R : 100000

T : 500000

Y : 1000000

J : 5000000

F : 10000000

E : 50000000

H : 100000000

W : 500000000

K : 1000000000

Peut-on parler de "base 10" pour cette numération ? Dans la mesure où la lettre "X" ne sert plus à qualifier ses multiples (puisque zéro n'est pas exprimé), je parlerai plutôt de base décimale indéfinie. On pourrait tout aussi bien parler de "base 100", puisque ce nombre est exprimé par un symbole unique (C), ou encore de "base 1000" (M). Par ailleurs, certaines formes d'écritures, comme LLL ou DDD, font penser à une base de type 5.


1 ECRITURE

91 : XCI

123 : CXXIII

18 : IIXX

546 : DXLVI

97 : IIIC

1999 : IMM

4700 : MNDCC

3296 : MMMCCIVC

8743 : MMPDCCXLIII

9447 : MPCDXLVII

12750 : PMMDCCL

31857 : PPPMCCMLVII

423988 : RTPPMMMCMXXCVIII

1 453 756 : YRTQMMMDCCLVI

650 567 198 : WHETQPNMMIICC


2 OPERATIONS

A L'addition

Une légende tenace veut que cette numération ne permette aucun calcul. Vraiment ?


29 + 57 + 63 + 27


IXXX + LVII + LXIII + XXVII

LL XXXXXX VII VII III - I

CLXXVI

= 176

Technique :

1) Groupage : on regroupe tous les caractères semblables, du plus fort au plus faible.

2) Simplification : on retranche les caractères négatifs (placés avant), ici, le "I" avant "XXX". Caractères positifs et caractères négatifs s'annulent.

3) Réduction : on fait la somme des caractères restants.

Avec un peu d'habitude, on constate qu'une addition romaine est plus simple à faire qu'une addition en base 10 (aucune retenue).


218 + 563 + 159 + 43

CCIIXX + DLXIII + CLIX + XLIII

D CCC LLL XXX +X -X III III - III

CMLXXXIII

= 983


258 + 47 + 108

CCLVIII + XLVII + CIIX

CCC LL -X +X VIII VII - II

CDXV - II

CDXIII

= 413


B La soustraction

68 - 19

LXVIII - IXX

X-XX = -X

LVIII - X + I

XLVIII + I

XLIX

= 49


Technique :

1) Groupage : on retranche les caractères semblables (ici, X - XX).

2) Simplification : on additionne les caractères négatifs du membre soustrait (ici, le "I" placé avant "X" dans "IX"). Les caractères négatifs du membre soustracteur restent négatifs.

3) Réduction : on fait la soustraction (ou la somme) des caractères restants.


2467 - 539

MMCDLXVII - DXXXIX

D - D
X - XXXX = -XXX
-C
+I

MMLVII - XXX + I

MMXXVII + I

MMXXVIII

MMXXVIII - C

MCMXXVIII

= 1928


Soustraire horizontalement implique une procédure de type algébrique. Les arabes sont-ils partis d'une numération non positionnelle pour inventer l'algèbre ?

40 - 20

XL - XX

-X - XX = -XXX

L - XXX = XX


85 - 38 - 17

LXXXV - XXXVIII - XVII

XXX - XXX - X = - X
V - V - V = - V
- III - II = - V

L - X - V - V = XXX


C La multiplication

25 x 7

XX (V
VII

VII . XX = CXL
VII . V = XXXV

X - X

CLXXV (175)


Technique :

1) Décomposition : on met les unités à part.
2) Calcul : on procède comme pour la multiplication décimale moins la retenue (avec tables de multiplication jusqu'à IX donnant aussi le résultat fois X, C, M ...).
3) Simplification : comme pour l'addition (ici, X - X).
4) Groupage
5) Réduction


63 x 46

LXIII . XLVI

LX (III
XL (VI

LX . XL = MMCD
LX . VI = CCCLX
III . XL = CXX
III . VI = XVIII

C - C

MMDCCCLXXXXVIII

MMDCCCIIC (2898)


682 x 253

DCLXXXII . CCLIII


DC (LXXX (II

CC (L (III


DC . CC = RPP
DC . L = PPP
DC . III = MDCCC
LXXX . CC = PNM
LXXX . L = MN
LXXX . III = CCXL
II . CC = CD
II . L = C
II . III = VI

RPP/PPP/MDCCC/PNM/MN/CCXL/CD/C/VI

M - M
C - C

RPPPPPPNNMDDCCCCCXLVI

RQPPMMDXLVI (172546)


Le système non positionnel ne permettrait certes pas d'aborder les grandes théories mathématiques contemporaines. Je voulais seulement montrer qu'il était victime d'un préjugé tenace, à savoir qu'il était impossible de calculer avec lui.
Je crois personnellement que cette numération a été jadis utilisée sans avoir besoin d'abaque. L'absence de preuves historiques est sans doute imputable à la fragilité des supports d'écriture.

Les 3 pseudo-postulats

Les trois pseudo-postulats des mathématiques contemporaines :

1) Aucune opération élémentaire n'est possible en dehors de la numération de position.

2) Il existe un infini plus grand que l'infini.

3) Aucun ensemble n'est élément de lui-même.

Ces trois pseudo-postulats instaurent un ordre artificiel dans l'ordre naturel de l'arithmétique. Ils conduisent tout droit à la technologie de pointe, à la conquête de la Lune, à la vieillesse prolongée.

C'est un progrès.

Ils ne tiennent pas compte de l'imperfection prodigieuse de la pensée.

C'est une régression.