mercredi

Magie des nombres premiers

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Si nous utilisions une base infinie pour compter, chaque entier serait représenté par un unique symbole. Ainsi, les très-très grands nombres ne seraient pas différents des petits. Il n'y aurait aucune différence quantitative entre le nombre "23" et un nombre "premier immense".
La quête des grands nombres, et surtout des grands nombres premiers, est motivée par le fait que les nombres augmentent en taille physique au fur et à mesure de leur énumération. Nous avons l'impression qu'un nombre est "grand" parce qu'il est "long". Mais cette longueur est seulement dûe à l'utilisation d'une base finie.

lundi

Encore de la métamathique

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Qualité numérique

Croyez-vous que 2 x 2 = 4 ?

Dans ce cas : II II = IIII

ce qui est vrai quantitativement, mais faux qualitativement.
Rien ne peut être égal en qualité à une qualité différente.
Ainsi, 2 x 3 n'égale pas 3 x 2, ce qui se vérifie aisément :

2 x 3

III III

3 x 2

II II II

Or, l'expression III III n'égale pas formellement l'expression II II II, c'est évident. Deux unités ternaires sont différentes de trois unités binaires.
Nous manipulons des symboles de quantités, sans tenir compte de la signification formelle du symbole, laquelle est qualitative.
Comment représenter réellement l'expression 6 x 9 autrement que par :

IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII

ou (symboliquement) :

9 9 9 9 9 9

De la même manière, pour 2 x 6 x 9, on aura :

9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9

Quelle personne a une représentation concrète du produit 6 x 19 ?

En base 9 :

6 x (2 x 9) + 1)

99 99 99 99 99 99
1 1 1 1 1 1

En base 10 :

6 x (10 + 9)

10 10 10 10 10 10
9 9 9 9 9 9

Les deux formes numériques I) 6 x (2 x 9) + 1) et II) 6 x (10 + 9) ne sont pas semblables, même si leur "résultat" est identique (autant d'unités dans les deux cas).
L'expression 6 x 9 ne peut être représentée par un symbole unique et invariable en deçà de (6 x 9) + 1, ce qui correspond à la base 55.
Cette même expression (6 x 9) ne peut s'écrire comme telle qu'à partir de la base 10. Dans les bases inférieures à 10, "9" ne s'écrit plus jamais "9" :

Base 10 : 6 x 9
Base 9 : 6 x 10
Base 8 : 6 x (10 + 1)
Base 7 : 6 x (10 + 2)
Base 6 : 10 x (10 + 3)
Base 5 : 11 x (10 + 4)
Base 4 : 12 x (10 + 11)
Base 3 : 20 x (10 + 20)
Base 2 : 110 x (10 + 111)

L'équation 6 x 9 = 54 est une convention propre à la base 10. En base 11 (où 10 = A), elle devient : 6 x 9 = 50.
Nous sommes obnubilés par la nécessité d'un résultat quantitatif, négligeant le fait qu'il puisse également se trouver un "résultat" dans la démarche.
Aucun nombre décimal n'est possible en base unaire (base 1), seulement des rapports d'entiers.
Par exemple (en prenant les chiffres romains pour abréger) :

XXII / VII (22 / 7)

Il en résulte qu'il n'existe pas, pour le nombre PI, d'écriture absolue de ses décimales, puisque le principe même de décimale est conditionné par celui de relativité des bases.


N.B : si l'ensemble "base 10" est élément de lui-même (voir l'article "à propos de l'ensemble vide" sur ce blog), alors chaque élément de l'ensemble contient virtuellement l'ensemble "base 10".
Autrement dit, l'existence d'un seul chiffre sur les dix implique l'existence de tous les autres, rendant caduque toute utilisation parcellaire de l'ensemble. Ainsi, des opérations telles que : 6 x 12 = 105 (en base 7) ou 13 : 3 = 3 (en base 6) seraient dépourvues de sens, les chiffres indiens ayant été créés pour former l'ensemble que l'on connaît et aucun autre.
Seule la création de symboles spécifiques à une base donnée pourrait garantir la validité de cette base.

samedi

nicolas hulot

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Il y a plus de chances de se sauver par un pessimisme clairvoyant que par un optimisme aveugle.