L'équilibre (ou la redondance) d'une base de numération pose le problème de la "figuration" des entiers.
Par exemple, en base 10, on peut "figurer" le dernier terme de la série (9) par un carré :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Cette possibilité rend pertinente, selon moi, la base 10 par rapport à toute base à laquelle elle ne s'applique pas (on la trouve en base 5, en base 17, en base 26, en base 37, ...). Mais cette figuration du nombre 9 est indépendante de la notion (moderne) de base de numération. Elle ne concerne en fait que la "base 1" qui, d'après la définition d'une base, n'est pas considérée comme une base puisque ses éléments ne sont pas des symboles (comme "7") mais des points (comme "****"). De plus, zéro (0) n'existe pas en base 1, ce qui entraîne que les nombres à virgules y sont impossibles (c'est peut-être l'une des raisons de son élimination).
Pour ne pas interférer avec la définition usuelle, nous appellerons cette base 1 "antibase".
L'antibase est donc un espace où tous les entiers peuvent s'exprimer par des points ou encore par des figures géométriques.
On a vu que "9" peut s'exprimer par un carré. Il en est de même, évidemment, pour tous les carrés (4, 16, 25, 36 ...). On appelle ces nombres des nombres carrés car on peut tous les disposer en carré.
"10" est un nombre dit "triangulaire" car il représente la base d'un triangle équilatéral (ou rectangle) formé d'un nombre de points égal précisemment à ce nombre triangulaire :
*
**
***
****
On obtient le triangle (et le nombre triangulaire) suivant en ajoutant chaque fois une ligne de points en nombre égal au nombre des points de la base du triangle précédent plus un. Le nombre de points à ajouter au nième nombre triangulaire est n + 1 :
1, 3, 6, 10, 15, 21 .........., n (n + 1) / 2
La suite des nombres triangulaires constitue une magnifique projection de l'ensemble N, puisque la raison de cette suite est précisemment ... n.
En prenant la raison 3n - 2, on obtient les nombres dit "pentagonaux", tous ceux qui représentent le périmètre d'un pentagone formé d'un nombre de points égal précisemment à ce nombre pentagonal :
1, 5, 12, 22, 35 ....., n (3n - 1) / 2
Les nombres polygonaux, de même que les polygones réguliers, sont en nombre infini.
(voir le livre de Matila Ghyka, "philosophie et mystique du nombre").
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Mystères de la base 10
Bien que conscients de la relativité des bases numériques, la plupart des mathématiciens se comportent à l'égard de la base 10 comme s'il s'agissait d'une base universelle. Témoin, par exemple, la recherche de telle décimale de PI, ou les chiffres du nombre d'or (1,618), lesquels semblent gravés dans la pierre.
La structure des dix premiers chiffres aurait-elle un sens caché ?
Sur un plan strictement quantitatif, il n'y a aucune raison de préférer la base 10 à toute autre. Il y a même des raisons pour lui préférer la base 12 ou 16 (se reporter aux articles officiels traitant de cette question). Mais sur un plan qualitatif ?
- On constate que 10 = 4(4 + 1) / 2. La somme des 4 premiers chiffres donne 10.
- 4 est un carré (2 ^ 2).
- 4 auquel je retranche 1 donne 3 dont le carré est 9 (3 ^ 3), dernier terme de la série.
- Le chiffre 9, carré de 3, permet de visualiser parfaitement l'ensemble des 9 premiers entiers non nuls, à tel point qu'on peut les ordonner en carré magique :
4 9 2
3 5 7
8 1 6
(chaque ligne donne un total de 15, somme de 9 + la différence entre 10 et 4 : 6).
- 10 + 6 (différence entre 10 et 4) = 16, carré de 4.
- 16 (4 ^ 2) + 9 (3 ^ 2) = 25, carré de 5 (10 / 2), quart de 100 (10 ^ 10), nombre s'obtenant également par 10 + 15, c'est à dire 4 (4 + 1) / 2 + 5 (5 + 1) / 2.
- 4 x 9 = 36, carré de 6.
- 50 (10 x 5) - 1 = 49, carré de 7.
- 16 x 4 = 64, carré de 8.
- 25 (25 + 1) / 2 = 325, et 325 - 1 = 324, carré de 18.
- 81 (9 x 9) - 36 (6 x 6) = 45, c'est à dire 9 (9 + 1) / 2.
En résumé :
- Le premier carré (1) s'obtient par 10 mod 9.
- Le deuxième (4) produit le nombre de la base (2 x 5).
- Le troisième (9) est le dernier terme de la série (10 - 1).
- Le quatrième (16) est le carré du deuxième.
- Le cinquième (25) s'obtient en additionnant 10 (nombre de la base) et 15 (total du carré magique de 9).
- Le sixième (36) est le produit du deuxième et du troisième.
- Le septième (49) s'obtient en retranchant 1 de 50 (5 x 10 ou 2 x 25).
- Le huitième (64) est le cube du deuxième.
- Le neuvième (81) est le carré du troisième.
- Le dixième (100) est le carré du nombre de la base (2 x 5).
Paradoxalement, la base 12 est équilibrée en base 10 (12 entiers non nuls) :
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
En base 12, elle est déséquilibrée (impossible d'afficher correctement les 11 entiers non nuls) :
1 2 3 4
5 6 7 8
9 X E 0
Conclusion : le système décimal, au-delà d'une apparente neutralité formelle (2 diviseurs), met en évidence un ensemble de relations numériques fortes qui pourraient laisser penser qu'il n'a pas été choisi de manière arbitraire (ou anthropomorphique). Il est pour moi l'oeuvre d'hommes pour qui les nombres n'étaient pas (comme aujourd'hui) une simple affaire de mesure, mais aussi une harmonie.
La structure des dix premiers chiffres aurait-elle un sens caché ?
Sur un plan strictement quantitatif, il n'y a aucune raison de préférer la base 10 à toute autre. Il y a même des raisons pour lui préférer la base 12 ou 16 (se reporter aux articles officiels traitant de cette question). Mais sur un plan qualitatif ?
- On constate que 10 = 4(4 + 1) / 2. La somme des 4 premiers chiffres donne 10.
- 4 est un carré (2 ^ 2).
- 4 auquel je retranche 1 donne 3 dont le carré est 9 (3 ^ 3), dernier terme de la série.
- Le chiffre 9, carré de 3, permet de visualiser parfaitement l'ensemble des 9 premiers entiers non nuls, à tel point qu'on peut les ordonner en carré magique :
4 9 2
3 5 7
8 1 6
(chaque ligne donne un total de 15, somme de 9 + la différence entre 10 et 4 : 6).
- 10 + 6 (différence entre 10 et 4) = 16, carré de 4.
- 16 (4 ^ 2) + 9 (3 ^ 2) = 25, carré de 5 (10 / 2), quart de 100 (10 ^ 10), nombre s'obtenant également par 10 + 15, c'est à dire 4 (4 + 1) / 2 + 5 (5 + 1) / 2.
- 4 x 9 = 36, carré de 6.
- 50 (10 x 5) - 1 = 49, carré de 7.
- 16 x 4 = 64, carré de 8.
- 25 (25 + 1) / 2 = 325, et 325 - 1 = 324, carré de 18.
- 81 (9 x 9) - 36 (6 x 6) = 45, c'est à dire 9 (9 + 1) / 2.
En résumé :
- Le premier carré (1) s'obtient par 10 mod 9.
- Le deuxième (4) produit le nombre de la base (2 x 5).
- Le troisième (9) est le dernier terme de la série (10 - 1).
- Le quatrième (16) est le carré du deuxième.
- Le cinquième (25) s'obtient en additionnant 10 (nombre de la base) et 15 (total du carré magique de 9).
- Le sixième (36) est le produit du deuxième et du troisième.
- Le septième (49) s'obtient en retranchant 1 de 50 (5 x 10 ou 2 x 25).
- Le huitième (64) est le cube du deuxième.
- Le neuvième (81) est le carré du troisième.
- Le dixième (100) est le carré du nombre de la base (2 x 5).
Paradoxalement, la base 12 est équilibrée en base 10 (12 entiers non nuls) :
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
En base 12, elle est déséquilibrée (impossible d'afficher correctement les 11 entiers non nuls) :
1 2 3 4
5 6 7 8
9 X E 0
Conclusion : le système décimal, au-delà d'une apparente neutralité formelle (2 diviseurs), met en évidence un ensemble de relations numériques fortes qui pourraient laisser penser qu'il n'a pas été choisi de manière arbitraire (ou anthropomorphique). Il est pour moi l'oeuvre d'hommes pour qui les nombres n'étaient pas (comme aujourd'hui) une simple affaire de mesure, mais aussi une harmonie.
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