L'antibase

L'équilibre (ou la redondance) d'une base de numération pose le problème de la "figuration" des entiers.
Par exemple, en base 10, on peut "figurer" le dernier terme de la série (9) par un carré :

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Cette possibilité rend pertinente, selon moi, la base 10 par rapport à toute base à laquelle elle ne s'applique pas (on la trouve en base 5, en base 17, en base 26, en base 37, ...). Mais cette figuration du nombre 9 est indépendante de la notion (moderne) de base de numération. Elle ne concerne en fait que la "base 1" qui, d'après la définition d'une base, n'est pas considérée comme une base puisque ses éléments ne sont pas des symboles (comme "7") mais des points (comme "****"). De plus, zéro (0) n'existe pas en base 1, ce qui entraîne que les nombres à virgules y sont impossibles (c'est peut-être l'une des raisons de son élimination).
Pour ne pas interférer avec la définition usuelle, nous appellerons cette base 1 "antibase".
L'antibase est donc un espace où tous les entiers peuvent s'exprimer par des points ou encore par des figures géométriques.
On a vu que "9" peut s'exprimer par un carré. Il en est de même, évidemment, pour tous les carrés (4, 16, 25, 36 ...). On appelle ces nombres des nombres carrés car on peut tous les disposer en carré.
"10" est un nombre dit "triangulaire" car il représente la base d'un triangle équilatéral (ou rectangle) formé d'un nombre de points égal précisemment à ce nombre triangulaire :

*
**
***
****

On obtient le triangle (et le nombre triangulaire) suivant en ajoutant chaque fois une ligne de points en nombre égal au nombre des points de la base du triangle précédent plus un. Le nombre de points à ajouter au nième nombre triangulaire est n + 1 :

1, 3, 6, 10, 15, 21 .........., n (n + 1) / 2

La suite des nombres triangulaires constitue une magnifique projection de l'ensemble N, puisque la raison de cette suite est précisemment ... n.

En prenant la raison 3n - 2, on obtient les nombres dit "pentagonaux", tous ceux qui représentent le périmètre d'un pentagone formé d'un nombre de points égal précisemment à ce nombre pentagonal :

1, 5, 12, 22, 35 ....., n (3n - 1) / 2

Les nombres polygonaux, de même que les polygones réguliers, sont en nombre infini.

(voir le livre de Matila Ghyka, "philosophie et mystique du nombre").